[전기기기공학] 05. 유도기(3)

5.5 유도기의 세 가지 동작 모드

 

유도기는 세 가지 모드로 동작하는데 전동기 작용(motoring), 발전기 작용(generating), 플러깅 작용(plugging)이 있다.

 

전동기 작용 : 고정자 단자가 3상 전원과 연결되었을 때 회전자는 고정자 회전 자계 방향으로 회전한다. 이때 회전자의 안정 속도 $n$는 동기 속도 $n_{s}$보다 작다.

 

발전기 작용 : 유도기에서 회생 제동을 시키기 위한 구동 장치에 이용한다. 구동 시스템을 정지시키기 위해 전원 주파수를 감소시키면 구동 시스템의 관성 때문에 유도 전동기의 순간 속도가 동기 속도보다 높아진다. 이때 유도 전동기에서는 전력이 반대로 전원측으로 흐르게 된다.

 

플러깅 작용 : 유도 전동기의 회전 방향을 반대로 걸어줌으로써 유도기를 정지시킨다. 이때 구체적으로 2개의 단자를 순간 반대로 연결함으로써 회전 방향이 반대가 되도록 한다(릴레이 등을 사용해서 일시적으로 반대로 연결되도록 한다). 

 

다만 플러깅 작용 시 정지가 확인되면 빠르게 전원을 차단해야하는데 계속 공급되는 경우 역회전을 할 수 있기 때문이다.

 

5.9 유도 전동기 특성

유도 전동기의 최종 에너지 형태는 출력 토크가 된다. 이 출력 토크는 외부 고정자에서 처음 전력이 인가될 때 다양한 수동 소자, 누설 등을 이유로 에너지가 조금씩 감소한 후 기계적인 출력으로 전달이 된다. 그림으로 표현하면 아래와 같다.

 

유도기 등가 회로에 포함된 고정자 동손, 철손, 회전자 동손이 손실로 없어지며, 그 외 기계손도 존재한다.

 

 

우리가 유도기 등가 회로에서 부하로 볼 수 있는 것은 기계적 출력 $P_{m}$이다. $P_{m}$을 구할 때 이전 시간에 전개했던 회로들을 생각하면 된다. 먼저 고정자로부터 공극을 거쳐 회전자로 입력되는 전력을 공극 전력(airgap power) $P_{ag}$라고 하는데, 이 공극 전력은 아래와 같이 회전자의 전류의 제곱과 회전자 저항을 슬립으로 나눈 값으로 나타낼 수 있다.

 

$$ P_{ag}=I_{r}^{2}\frac{R_{r}}{s}$$

 

공극 전력은 회전자 회로의 동손과 기계적 출력으로 구분해서 나타낼 수 있으며 이를 회전자 등가회로로 표현하면 다음과 같다.

부하로 보였던 저항 성분은 손실 부분과 실제 에너지로 전달되는 부분으로 분리된다.

 

전력 분배는 슬립 $s$에 따라 달라진다. 슬립의 개념이 고정자에서 발생하는 동기 속도 $n_{s}$ 대비 실제 회전하는 회전자 속도 $n_{r}$을 빼고 남은 값의 비율이 되는데 이 남은 값은 부하 회전에 기여하지 않으니 손실로 보는 것이 타당하다. 해서, 저항 손실 $P_{r}$과 기계적 출력 $P_{m}$은 다음과 같이 변환된다.

 

$$P_{r}=I_{r}^{2}R_{r}=sP_{ag}$$

$$P_{m}=I_{r}^{2}\frac{R_{r}}{s}(1-s)=(1-s)P_{ag}$$

 

$s$은 손실 성분에 기여하는 값이라 볼 수 있기 때문에 당연히 작을수록 효율이 좋아진다.

 

이제 기계적 출력 $P_{m}$은 토크 $T_{m}$과 기계적 각속도 $\omega_{m}$의 곱으로 표현되며, 아래와 같다.

 

 $$P_{m}=I_{r}^{2}\frac{R_{r}}{s}(1-s)=T_{m}\cdot\omega_{m}$$

 

위 수식은 1개의 상에 대한 기계적 출력을 풀이한 것이며, 3상 유도 전동기의 출력 토크는 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

 $$T_{m}=\frac{3P_{m}}{\omega _{m}}=\frac{3}{\omega_{m}}I_{r}^{2}\frac{R_{r}}{s}(1-s)=\frac{3}{\omega_{m}}I_{m}^{2}\frac{R_{r}}{s}$$

 

위 출력 토크 식을 보게 되면 회전자 전류 $I_{r}$을 통해 도출되는데, 실제 우리는 회전자의 전류를 측정할 수 없다. 따라서, 출력 토크를 쉽게 알기 위해선 우리가 알고 있는 고정자 전압 $V_{s}$으로 다시 변환하는 것이 좋다. 회전자 전류를 고정자 전압에 관한 수식으로 전개하면 아래와 같다.

 

 $$I_{r}=\frac{V_{s}}{(R_{s}+R_{r}/s)+j(X_{ls}+X_{lr})}$$

 

이 회전자 전류 식을 다시 출력 토크에 대입하면 다음과 같다.

 

 $$T_{m}=\frac{3}{\omega_{s}}\frac{V_{s}^{2}}{(R_{s}+R_{r}/s)^2+(X_{ls}+X_{lr})^{2}}\frac{R_{r}}{s}$$

 

위 토크 수식은 완전한 등가회로에서 계산된 회전자 전류로부터 얻은 토크와는 5% 정도 오차가 있다고 한다. 아무래도 고정자 손실, 철손 등이 정확하게 모델링 된 것이 아니다 보니 발생하는 현상일 것으로 추측된다.

 

출력 토크 수식에는 임피던스 성분이 관련되는데, 저항 성분이 슬립에 영향을 받는 것을 알 수 있다. 이는 슬립의 크기에 따라 출력 토크에 지배적인 영향을 미치는 요소가 달라진다는 것을 의미한다.

 

가령, 유도 전동기가 일반적으로 운전하는 슬립이 작은 동기속도 부근의 특성을 보게 되면 회로 임피던스 관계에서 저항성분이 리액턴스 성분에 비해 압도적으로 커지게 되며, 특히 $\frac {R_{r}}{s}$성분이 매우 커진다. (슬립이 0에 가까워지니까) 이때 출력 토크 수식은 아래와 같이 간략화가 가능하다.

 

 $$T_{m}\approx\frac{3}{\omega_{s}}\frac{V_{s}^{2}}{R_{r}}s$$

 

이때, 출력 토크는 슬립 $s$에 대해 선형적으로 비례한다.

 

반면, 슬립이 큰 저속 운전 영역에서는 반대로 리액턴스 성분이 지배적으로 보이며 저항 성분을 무시하고 간략화가 가능하다.

 

 $$T_{m}=\frac{3}{\omega_{s}}\frac{V_{s}^{2}}{(X_{ls}+X_{lr})^{2}}\frac{R_{r}}{s}$$

 

이때는 오히려 출력 토크에 대해서 슬립 $s$이 반비례하는 특성을 갖는다.

 

위 수식을 통해, 우리는 슬립이 0에서부터 1까지 도달하는 과정에서 일정동안 선형적으로 출력 토크가 증가하지만 어느 시점을 기준으로 토크가 감소하는 것을 알 수 있다. 최대 토크(Pull-out Torque)가 발생하는 슬립은 출력 토크에 대한 수식을 미분, 극댓값을 찾는 방식으로 구할 수 있으며 그 최대 슬립 $s_{max}$값은 다음과 같다.

 

$$s_{max}=\frac {R_{r}}{\sqrt {R_{s}^2+(X_{ls}+X_{lr})^2}}$$

 

이때, 회전자 저항 $R_{r}$이 최태 토크가 발생하는 슬립 속도를 결정하는 중요 설계 정수임을 알 수 있다. $s_{max}$에 대한 값을 토크 식에 대입하면 다음과 같이 최대 토크를 얻을 수 있는데 회전자 저항과는 무관하다.

 

$$T_{m-max}= \frac {3}{2\omega_{s}}\frac {V_{s}^{2}}{R_{s}+\sqrt {R_{s}^2+(X_{ls}+X_{lr})^2}}$$

 

속도-토크 특성 곡선, 일정 속도(슬립)이 넘어가면 토크는 오히려 감소한다.

 

유도 전동기의 통상적인 운전 범위는 동기속도 부근 영역으로 이 영역에서 출력 토크는 슬립에 선형적으로 비례한다.